AO tutorial 2: Deformable mirrors

Назад: 1. Формирование изображения через турбулентность

2. Исправление турбулентности: Деформируемые зеркала

Предположим, что все атмосферные аберрации масштаба $\rho$ и больше (т.е. моды низких порядков) исправлены. Какова будет структурная функция оставшихся (остаточных) аберраций. Качественно, она будет возрастать на расстояниях $\vert\vec{r}\vert<\rho$ и будет иметь насыщение на больших расстояниях
на уровне $2 \langle \epsilon^2 \rangle$ . Оптическая переходная функция, ОПФ, пропорциональна $\exp [-0.5 D_{\phi}(\lambda \vec{f})]$ . Вместо спадания до нуля при больших

,
частотах, она становится постоянной на уровне

В больших телескопах $(D \gg \rho)$ ФРТ частично исправленного изображения может быть представлена приближенно
в ввиде суммы ограниченного качеством изображения (гало)

и дифракционно-ограниченного ядра

Пример частично исравленного звездного изображения (типичного для адаптивной оптики ФРТ) дан на рис.1. На больших телескопах $(D \gg r_0)$ гало очень широкое по сравнению с ядром. Следовательно, интенсивность
в центре ФРТ определяется ядром и коэффициент Штреля равен энергии когерентности $S \approx S^*$ . Такое
приближение широко используется, и иногда

принимают как эквивалент коэффициента Штреля.

Вопрос: Какой коэффициент Штреля соответствует остаточной фазовой аберрации равной 1 кв.радиану? Каков
верхний предел остаточной вариации, необходимый для получения коэффициента Штреля 95%?

Вопрос: Предположим, что мы знаем коэффициент Штреля на длине волны 0.5 мкм. Можете ли вы вычислить его на другой длине волны, скажем 2.2 мкм?

Очень важно понимать, что коррекция больших пространственных масштабов влияет на малые масштабы тоже, потому,
что они перемещают наклоны волнового фронта. Следовательно, структурная функция остаточной фазы растет медленнее

чем структурная функция нескорректированных атмосферных аберраций. Если структурная функция меньше, ОПФ больше,
и ФРТ более узкая. Ширина гало меньше, чем ширина ограниченной качестов изображения ФРТ. Этот выигрыш в ширине на
половине высоты может достигать величины 2. Даже для очень низких коэффициентов Штреля улучшение разрешения,
даваемое применением адаптивной оптики, существенно. Так бывает, если используется адаптивная система низкого
порядка для наблюдений в видимом диапазоне спектра.

2.2. Деформируемые зеркала: сегментированные.

Ранние деформируемые зеркала (ДЗ) состояли из дискретных элементов, каждый из которых
управлялся с помощью 3 пьезоактюаторов. В настоящее время общепринятая технология состоит в наклеивании
тонкой лицевой пластинки к массиву пьезоэлектрических актюаторов (см. рисунок) Актюаторы производятся не
по-одиночке, но скорее как многослойная вафля из пьезокерамики делится на отдельные актюаторы. Такой тип ДЗ используется в АО системе GEMINI.

Типичные параметры сегментированных ДЗ

Число актюаторов	100 - 1500
Расстояние между актюаторами	2-10 мм
Геометрия электродов	Прямоугольная или гексагональная
Напряжение	Несколько сот вольт
Перемещение	Несколько микрон
Резонансная частота	Несколько кГц
Цена	Высокая

Вопрос: Какой размер имеет ДЗ имеющее 1000 актюаторов с расстоянием между ними 5 мм?

Вопрос: Какое перемещение в микронах необходимо, чтобы скорректировать качество изображения в 2 угловых секунды на
4 м телескопе? предполагается, что наклоны компенсируются отдельным зеркалом.

Этот тип ДЗ был первоначально разработан для военных применений, поэтому они дорогие. Некоторые
примеры могут быть найдены на WEB- страницах Xinetics. Пьезоэлектрические актюаторы имеют гистерезис около 10%.
Максимальное перемещение ограничено насыщением пьезоэлектрического материала (иногда прилагаемое напряжение
тоже ограничено). Ниже показано ДЗ АО системы Keck.

Когда некоторое напряжение

прикладывается к

--тому актюатору, форма ДЗ описывается функцией
отклика,

умноженной на

. При сплошной передней отражающей поверхности функция отклика ДЗ напоминает
колоколообразную (или Гауссову) функцию. Есть небольшое (обычно около 15%) взаимовлияние между актюаторами.
Когда все актюаторы в действии, результирующая форма ДЗ равна

Для привода пьезоэлектрического зеркала необходим многоканальный высоковольтный усилитель. Он должен
иметь малую постоянную времени, несмотря на большую емкостную нагрузку электродов ДЗ.

2.3. Деформируемые зеркала: биморфные

Биморфное зеркало состоит из двух пьезоэлектрических пластин, которые соединены вместе и поляризованы в
противоположных направлениях (параллельно их оси). Решетка электродов наносится между пластинами. Электроды,
нанесенные на переднюю и заднюю поверхности соединены с корпусом. Передняя поверхность является зеркалом.
Когда к электроду приложено напряжение, одна пластина сокращается, а противоположная - расширяется. В результате
происходит локальное скручивание. Поскольку локальная кривизна пропорциональна напряжению, такие ДЗ называют
управляемыми по кривизне.
Особенностью характеристики биморфного ДЗ является то, что управляются они не по форме поверхности, а по её
кривизне. Для того же приложенного напряжения

, величина вызванного перемещения пропорциональна $V\rho^2$ , где $\rho$ пространственный размер деформируемой зоны. Аналогично, насыщение пьезокерамики
должно быть выражено не в терминах смещения поверхности, а в терминах максимальной кривизны или напряжения.

Геометрия электородов биморфного ДЗ радиально-циркулярная, наилучшим образом подходит к круговой апертуре
телескопа с центральным экранированием. Таким образом, для данного числа электродов (т.е. для данного числа
управляемых параметров) биморфное ДЗ дает более высокое качество компенсации турбулентности, чем
сегментированные зеркала.
Для биморфных зеркал не существует такой простой вещи, как функции отклика. Форма поверхности в зависимости от
приложенных напряжений должна быть найдена из решения уравнения Пуассона, которое описывает деформацию
тонкой пластины под действием приложенной силы. Чтобы решить это уравнение, должны быть определены также
граничные условия. В действительности, эти ДЗ изготавливаются большего размера, чем размер пучка, и внешнее
кольцо электродов используется для определения граничных условий - наклонов на периферии пучка.

Очень упрощенный вид уравнения Пуасона таков. Кривизна описывается оператором Лапласа (суммой вторых
производных по

). В пространстве Фурье лапласиан соответствует умножению на

. Если

- фурье-преобразование распределения напряжений, то деформация

Это уравнение описывает, как биморфное ДЗ усиливает низкие пространственные частоты.
Распределение деформаций волнового фронта по пространственным частотам зависит от модели турбулентности.
Для модели Колмогорова величина деформаций растет при низких частотах как $\vert\vec{f}\vert^{-11/6}$ ,- почти обратно пропорционально квадрату
частоты. Это означает, что амплитуда напряжения, которое необходимо приложить к ДЗ, почти не будет зависеть от
частоты. В этом смысле биморфное ДЗ "хорошо согласуется" с турбулентностью.

Вопрос: Предположим, турбулентность слишком велика и ДЗ достигает предела насыщения. На каких пространственных
частотах насыщение наступит раньше, на низких или высоких? Изменится ли ответ для сегментированных ДЗ?

Механическое закрепление биморфных зеркал - тонкий вопрос: с одной стороны оно должно быть оставлено свободным для
деформации, с другой - оно должно быть жестко закреплено в оптической системе.
Обычно используется закрепление типа струбцин в трех точках на краю ДЗ.

Биморфные зеркала были разработаны по инициативе Ф. Родье для астрономических применений как дешевая альтернатива
сегментированным. Такие зеркала используются а АО системах в CFHT, Subaru, Geminy-North(временно), ESO VLT.
Число актюаторов остается ограниченным. Биморфные зеркала изготавливаются фирмой CILAS во Франции и Laplacian Optics
- в США, а также некоторыми другими фирмами.

Типичные параметры биморфных ДЗ

Число актюаторов	13 - 85
Размер зеркала	30-200 мм
Геометрия электродов	Радиальная
Напряжение	Несколько сот вольт
Резонансная частота	Более 500 Hz
Цена	Умеренная

В России доступные по цене биморфные деформируемые зеркала для астрономических и лазерных применений выпускает, например, производственно-коммерческая фирма ООО"ТУРН" .

Современная технология позволяет производить сегментирование поверхности классического (т.е. построенного без применения технологий микроэлектроники) биморфа с плотностью до 10 сегментов (каналов) на см², что дает до » 360 каналов управления на зеркале с апертурой 50 мм. Имеются интересные схемотехнические решения для построения блоков управления такими зеркалами, позволяющие вместить эти блоки в разумные веса и габариты .)

2.4. Деформируемые зеркала: будущее

Настоятельно требуются новые технологии изготовления деформируемых зеркал. Чтобы исправить турбулентность очень
больших телескопов (30-100 м в диаметре) в видимой области, требуются ДЗ с числом актюаторов 10 000 - 100 000!
Один возможный способ производства таких зеркал лежит в кремниевой технологии ( так называемые MOEMS - микро-
опто-электро-механические системы). Эти зеркала делаются методом микролитографии, способом, аналогичным
способу изготовления микросхем, а маленькие зеркальные элементы отклоняются электростатическими силами.
Остающаяся проблема MOEMS - недостаточна амплитуда смещения и слишком малый размер элементов.
Примеры на странице MEMS Optical.

Небольшие зеркала с непрерывной мембраной и электростатическим управлением, изготовленне по кремниевой технологии
уже есть на рынке. Они очень дешевы. Однако, число актюаторов не превышает 50 и единственная мембрана очень хрупка.

Другой путь управления фазой света состоит в использовании жидких кристаллов, подобно дисплеям, которые содержат до
миллиона управляемых элементов. До последнего времени жидкие кристаллы были слишком медленными, но теперь
этот недостаток, кажется, преодолен. Однако, фазовый сдвиг, создаваемый жидкими кристаллами, остаётся слишком мал
и зависит от длины волны.

Астрономы всегда мечтали корректировать турбулентность с помощью деформируемых вторичных зеркал их телескопов,
делая АО простыми и эффективными, как только возможно. Рисунок ниже показывает 30-элементный деформируемое вторичное
зеркало (SPIE, V. 4007, P. 524-531, 2000).le secondary (SPIE, V. 4007, P. 524-531, 2000).

В настоящее время готово деформируемое зеркало с 336 элементами для 6.5 -метрового телескопа ММТ. Оно состоит из тонкой
(~1 мм) асферической оболочки и толстого стеклянного основания. Соленоиды смонтированы в основании, а маленькие магниты
приклеены к оболочке Промежуток между оболочкой и основанием только несколько несколько десятков микрон. (воздух в промежутке
демпфирует резонанс). Форма оболочки проверяется совокупностью емкостных датчиков, которые соединены с соленоидами
системой обратной связи. Управление такой много-параметрической системой очень сложно, но в конечном виде было
достигнута постоянная времени 1,5 мсек.
Вряд ли нужно говорить, что такое зеркало очень дорого.

Вопрос: Можете ли Вы предложить какую-либо оригинальную конструкцию деформируемого зеркала?

2.5. Автоматическое управление

Адаптивная оптика работает в замкнутой цепи обратной связи: ДВФ измеряет остаточные отклонения волнового фронта от идеального и подает соответствующие команды на деформируемое зеркало. Это объясняет, почему небольшие несовершенства ДЗ, такие как гистерезис и статические аберрации, не очень важны, ибо они будут скорректированы автоматически, вместе с атмосферными аберрациями. Здесь мы рассмотрим временное управление замкнутой обратной связью.

Пусть

- входной сигнал , т.е. коэффициент некоторой моды Цернике,,

- - сигнал, приложенный к ДЗ, и

- - сигнал ошибки, измеренный ДВФ. Сигнал ошибки до подачи на ДЗ должен быть отфильтрован,
иначе система окажется нестабильной. В частотной области этот фильтр

называется передаточной функцией разомкнутой цепи обратной связи..

Чтобы вычислить реакцию в замкнутой системе, запишем уравнения управления в частотной области
(фурье-преобразованные)

$\displaystyle \tilde{y}(f)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \tilde{e}(f) \; \; G(f),$
$\displaystyle \tilde{e}(f)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \tilde{x}(f) - \tilde{y}(f) = \tilde{x}(f) - G(f) \tilde{e}(f).$	(5)

$\displaystyle \tilde{e}(f)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1 + G(f)} \tilde{x}(f),$
$\displaystyle \tilde{y}(f)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{G(f)}{1 + G(f)} \tilde{x}(f) = \tilde{T}(f) \tilde{x}(f) .$	(6)

Последняя формула описывает передаточную функцию замкнутой системы,

Наиболее общий пример передаточной функции разомкнутой системы - чистый интегратор. Управляющий сигнал
вычисляется как интеграл сигнала ошибки с некоторым коэффициентом,

называемым усилением (усиление должно
быть измерено в единицах, обратных времени, как частота). Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем
обратной связи чистого интегратора следующие:

$\displaystyle G(f)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{g}{2 \pi i f},$
$\displaystyle T(f)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1 + i f/f_{\rm 3 dB} },$	(7)

Графики этих функций даны на рисунке. Ширина полосы замкнутой системы полностью определяется усилением. Величина $f_{\rm 3 dB}$ называется шириной полосы на уровне 3 дБ, при этой частоте
только половина мощности сигнала передается к управляемому ДЗ.

Мы хотели бы управлять нашим ДЗ настолько быстро, насколько это возможно, чтобы отследить изменяющиеся
атмосферные аберрации. В действительности должны быть преодолены две трудности :

1. Время отклика. Требуется определенное время, чтобы измерить сигнал ДВФ. Так,

становится умноженным
на член $e^{-2 \pi i \tau}$ , определяющийся задержкой на время $\tau$ . Аналогично, определенное время тратится на выполнение
вычислений управляющего сигнала (другая задержка), отклик ДЗ не является мгновенным как из-за его резонанса
так и гистерезиса (гистерезис моделируется постоянным фазовым сдвигом). Короче,

аккумулирует дополнительные
фазовые задержки при увеличении частоты и в конце концов набег фазы становится больше $\pi$ . Это означает, что что вместо
компенсации ошибок, система управления стала бы усиливать их. Если модуль передаточной функции замкнутой системы
на этой частоте превышает 1, система становится нестабильной. Практически, ширина полосы замкнутой системы
составляет только от 1/7 до 1/10 низшей резонансной частоты.

2. Шум. Сигнал ошибки измеряется ДВФ с некоторым шумом. В зависимости от яркости опорной звезды, постоянной
времени атмосферы и порядка коррекции, должна быть выбрана оптимальная ширина полосы, которая обеспечивает
наилучшее качество АО системы. Практически, цепь обратной связи оптимизируется всякий раз во время наблюдений.
Этот вопрос настолько сложен, что мы не хотели бы вдаваться в детали.
Мы считаем сигналы

непрерывными функциями, в то время как они в действительности вычисляются численно
с определенной частотой выборки, называемой частотой обратной связи.

Теория цифровых систем управления содержит ряд дополнительных трудностей. Практически частота обратной связи должна быть не менее чем в 4 раза выше, чем ширина полосы замкнутой системы обратной связи.

Вопрос: Если нам нужно уменьшить ширину полосы замкнутой цепи обратной связи в два раза, как мы изменим
усиление интегратора?

Вопрос: Как уменьшатся статические аберрации с системой управления с интегратором?

Вопрос: Попробуйте вычислить передаточную функцию замкнутой системы, содержащей комбинацию интегратора и
задержки и изучите условия стабильности цепи обратной связи.

2.6. Остаточная ошибка исправленных волновых фронтов

Как мы видели, способность ДЗ компенсировать фазовые аберрации несовершенна по двум причинам:
ограниченного числа актюаторов и конечного времени отклика.
Ограниченная способность воспроизводить волновой фронт при конечном расстоянии между актюаторами
ведет к появлению ошибки воспроизведения: мелкие деталиволнового фронта остаются нескомпенсированными.
Для расстояния между актюаторам

, дисперсия фазы ошибки воспроизведения равна

$\begin{displaymath} \langle \epsilon^2_{\rm fit} \rangle = k (d/r_0)^{5/3}, \end{displaymath}$

(8)

где коэффициент

зависит от типа ДЗ (его функции отклика) и геометрии актюаторов. Значение $k \approx 0.35$ aтипично для

сегментных ДЗ.

Общее число управляемых актюсторов

, поэтому ошибка также равна

$\begin{displaymath} \langle \epsilon^2_{\rm fit} \rangle = k (D/r_0)^{5/3} N^{-5/6}. \end{displaymath}$

(9)

Если наше ДЗ было способно воспроизвести точно

N мод Цернике, ошибка воспроизведения давалась бы асимптотической формулой Нолла. Показатель степени в этой формуле $-\sqrt{3}/2 \approx -0.866$ , в сравнении с $-5/6 \approx -0.833$ в приведенной ранее.
Для большого числа управляемых параметров корректировка с помощью мод Цернике дает лучший результат, чем локально по волновому фронту. Это объясняет также, почему биморфные ДЗ, которые воспроизводят моды Цернике более точно, эффективнее, чем сегментные ДЗ. Было показано, что остаточная дисперсия фазы, возникающая вследствие ограниченности ширины полосы системы управления приближенно представляется:

$\begin{displaymath} \langle \epsilon^2_{\rm BW} \rangle = (\tau_0 f_{\rm 3 dB})^{-5/3}, \end{displaymath}$

(10)

где $\tau_0$ постоянная времени атмосферы. Это справедливо для системы с чистым интегратором. Величина, обратная $\tau_0$ называется частотой Гринвуда.

В сущности, временной спектр коэффициентов Цернике зависит от порядка моды: моды низких порядков меняются
менее быстро. Имеет смысл управлять каждой модой с различным временем отклика, оптимизируя минимальную
остаточную ошибку в присутствии шума ДВФ. Такой подход называется модальным управлением и реализован в
некоторых АО.

Вопрос: Предположим, что из-за ширины полосы управления допускается максимальное ухудшение коэффициента
Штреля до величины 0,9. Какая величина $f_{\rm 3 dB}$ необходима для достижения этой цели, если $\tau_0$ равно 4 мс?

Вопрос: Для случая Джемини (

m) и видности 1 угловая секунда , вычислите требуемое число актюаторов
сегментированного зеркала для получения коэффициентов Штреля 0,37 на длине волны 0,5 мкм, и число мод Цернике,
необходимых для получения того же коэффициента Штреля.

Резюме. Теперь мы знаем, как вычислить качество частично компенсированного изображения (коэффициент Штреля) и как выбрать число управляемых параметров. Сделан обзор существующих и будущих возможностей выбора деформируемых зеркал и приведены основы построения систем их автоматического управления. Мы получили соотношения для вычисления остаточных фазовых ошибок, возникающих вследствие конечного расстояния между актюаторами и конечного времени отклика системы обратной связи.