К началу: Введение

Назад: 2. Исправление турбулентности: Деформируемые зеркала

Далее: 4. Лазерные опорные звезды

3. Датчики волнового фронта

3.1. Требования к измерениям волнового фронта

Проблема измерения искажений волновых фронтов - общая для оптики( т.е. в производстве и контроле зеркал телескопов)
и решается обычно с помощью интерферометров. Почему не используюся стандартные лазерные интерферометры в Датчиках
Волнового Фронта (ДВФ) для адаптивной оптики?

Во-первых, АО система должна использовать свет звёзд, прошедший через турбулентную атмосферу, для измерения
волновых фронтов, следовательно использовать некогерентный (а иногда и не-точечный ) источники. Даже лазерные опорные
звезды недостаточно когерентны, чтобы работать в обычных интерферометрах. ДВФ должен работать с некогерентными
источниками белого света.

Во-вторых, интерференционные полосы хроматичны. Мы не можем позволить фильтровать звёздный свет, потому, что
хотим рассматривать слабые звезды. ДВФ должен использовать фотоны очень эффективно.

В-третьих, интерферометры имеют присущую им неопределенность фазового сдвига в$2\pi$, в то время как
атмосферные фазовые искажения, как правило, превышают $2\pi$. ДВФ должен быть линеен во всём диапазоне
атмосферных искажений. Существуют алгоритмы "разворачивания" фазы и устранения этой неопределенности, но
они медленные, в то время как атмосферные турбулентности развиваются быстро, в течение миллисекунд: ДВФ
должен быть быстрым.

Эти требования выполняются в нескольких существующих концепциях ДВФ. Каждый ДВФ состоит из следующих
главных компонент:

Оптический прибор, который преобразует аберрации в изменения интенсивности света ( в отличие от радиоволн, фаза
световых волн не может быть измерена непосредственно вследствие самых фундаментальных физических причин,
связанных с квантовой природой света). Оптическая часть определяет отклик и линейность ДВФ.

Приемник преобразует интенсивность света в электрический сигнал. Этот сигнал имеет присущий ему внутренний
шум из-за фотонной природы света, но может также содержать вклад шума фотоприемника. Интегрирование света в
фотоприемнике вызывает задержку в цепи управления, которая ограничивает ширину полосы.

Реконструктор необходим для того, чтобы преобразовать сигналы в фазовые искажения. Вычисления должны быть
достаточно быстрыми, - это практически означает, что только линейные реконструкторы могут быть использованы.
Линейный реконструктор, как правило, выполняет матричное перемножение.

Нет нужды говорить, что любой ДВФ имеет конечное пространственное разрешение, которое должно соответствовать размеру корректирующих элементов (т.е. меж-актюаторному расстоянию ДЗ). Искажения волнового фронта
меньшего размера не обнаруживаются, однако, они влияют на сигнал ДВФ, вызывая так называемую ошибку
дискретизации (подобно ошибке дискретизации временного сигнала при конечной выборке, см. рисунок). Спектр
турбулентности уменьшается на больших пространственных частотах, следовательно ошибка дискретизации
часто не играет важной роли по сравнению с другими ошибками системы АО, например, ошибкой сопряжения
(fitting error).

3.2. ДВФ Шака - Гартмана.

Shack-Hartmann WFS
Wave-front - волновой фронт,
Lenslet - матрица линз,
Detector - фотоприемник,
Image - изображение.

 

Хорошо известный Гартмановский тест изобретен первоначально для контроля телескопической оптики был
приспособлен для АО и является наиболее часто применяемым типом ДВФ. Изображение входного зрачка
проецируется на матрицу линз - совокупность маленьких идентичных линз. Каждая линза занимает малую
часть апертуры, называется суб-зрачком или суб-апертурой и образует изображение источника. Все изображения формируются на
одном фотоприемнике, обычно CCD-матрице.

Когда приходящий волновой фронт плоский, все изображения расположены в правильной сетке, определенной
геометрией матрицы линз. Как только волновой фронт искажается, изображения смещаются со своих номинальных
положений. Смещения центроидов изображения в двух ортогональных направлениях пропорциональны средним
наклонам волнового фронта в этих направлениях по суб-апертурам. Таким образом, ДВФ Шака-Гартмана (ДВФ Ш-Г)
измеряет наклоны волнового фронта. Сам волновой фронт реконструируется (восстанавливается) из массива
измеренных наклонов с точностью до константы, которая не играет роли для изображения. Разрешение
ДВФ Ш-Г равно размеру суб-апертуры.

Вопрос: Какой максимальный размер источника, когда изображения от соседних суб-апертур начинают перекрываться?
Примите размер субапертуры 0.5 мм и фокусное расстояние 50 мм. Будет ли такая матрица линз подходить для АО
системы с размером суб-апертуры $d$=1 m?

Вопрос: Оцените среднее квадратическое значение наклонов волновых фронтов на суб-апертурах в зависимости от
размеров суб-апертур d и $d$ и $r_0$ ( используйте коэффициенты атмосферных углов наклона из раздела 1.10).
Вычислите для  $d$=1 m и видности 1 угловая секунда.

Хорошим свойством ДВФ Ш-Г является его полная ахроматичность, наклоны не зависят от длины волны. Он также
может работать с не-точечными (протяженными) источниками. Если    $\phi(\vec{r})$ - фаза фронта волны, наклон в направлении
оси x, измеренный ДВФ Ш-Г вычисляется как

\begin{displaymath} x = \frac{\lambda}{ 2 pi S} \int_{sub-aperture} \frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial r_x} \; {\rm d}\vec{r}, \end{displaymath} (1)

где $S$ площадь суб-апертуры. Наклоны x , y оцениваются из смещений центроидов изображений (или центров тяжести), как

\begin{displaymath} x = \frac{\sum_{i,j} x_{i,j}I_{i,j}}{\sum_{i,j} I_{i,j}} \;\... ...;\; y = \frac{\sum_{i,j} y_{i,j}I_{i,j}}{\sum_{i,j} I_{i,j}}, \end{displaymath} (2)

где $I_{i,j}$ интенсивности света на пикселях фотоприемника. Предполагается, что координаты x, y выражены в радианах
(это может быть сделано, зная размер пикселя фотоприемника).

Photon noise of centroid Теперь будет оценена ошибка измерения наклона, которая возникает от фотонного шума. Пусть$\beta$ радиан будет
радиус изображения, образованного каждой суб-апертурой. Для протяженного источнико$\beta$ равно размеру
источника (точнее, дисперсии распределения интенсивности вокруг центра). Для точечных источников
$\beta=\lambda/d$ если суб-апертуры меньше, чем, $r_0$ (дифракционно-ограниченное изображение), или $\beta = \lambda/r_0$ для больших суб- апертур (размер изображения определяется атмосферным пятном). Распределение интенсивности изображения
может рассматриваться как распределение плотности вероятности приходящих фотонов. Следовательно, каждый
приходящий фотон позволяет определить положение изображения с погрешностью$\beta$. Когда $n$ фотонов детектируются
за время экспозиции, фотонная погрешность положения центроида (т.е. наклон) становится $\beta/\sqrt{n}$, как после
повторения одного и того же экспериментt $n$ раз.

В фотометрическом диапазоне R (длина волны около 600 нм), где современные фотоприемники наиболее чувствительны,
звезда звездной величины 0 даёт поток 8000 фотонов в секунду на квадратный сантиметр в каждом нанометре
полосы (эффективная полоса может достигать 300 нм для хороших CCD). Для звездной величины m поток уменьшается
в $10^{-0.4m}$ раз. При вычислении потока на площадке фотоприемника ДВФ должно быть принято во внимание
оптимальное пропускание.

Вопрос: Вычислите число фотонов регистрируемых за 1 мс на суб-апертуре 1 м приходящих от звезды 15-той величины.
Предположите общее пропускание 0.3 и квантовую эффективность 0.6.

Общепринято выражать все погрешности волновых фронтов в радианах. Мы умножаем погрешность наклона на
$\frac{2\pi}{\lambda} d$  чтобы получить дисперсию разности фаз между краями суб-апертуры в квадратных радианах:

\begin{displaymath} \langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle = \frac{4 \pi^2}{n} \left( \frac{ \beta d}{\lambda} \right) ^2. \end{displaymath} (3)

Будьте внимательны, когда пользуетесь этой формулой: здесь  $\lambda$ длина волны изображения с АО, в то время как
размер изображения $\beta$ должен быть вычислен для ДВФ и может отличаться.

Вопрос: Скодлько фотонов нужно на экспозицию, чтобы получить фотонную погрешность в 1 радиан с ДВФ Ш-Г
имеющим $d = 3 r_0$? Предполагается, что изображение и измерения волнового фронта выполняются на одной длине
волны.

Погрешность восстановленного волнового фронта пропорциональна $\langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle$ с коэффициентом, называемым коэффициентом
передачи шума. Известно, что что для ДВФ Ш-Г коэффициент передачи шума около 1 и медленно увеличивается с
числом элементов ( наклоны интегрируются в реконструкторе, так что шум не усиливается).

Поток фотонов пропорционален квадрату размера суб-апертуры$d$. Это значит, что, для данного $\beta$, фотонная
погрешность ДВФ Ш-Г не зависит от размера его суб-апертур. Такое заключение применимо только к идеальному
фотоприемнику, в реальных системах с CCD ( например, в NAOS VLT - дословно - Nasmyth адаптивно-оптическая система
очень большого телескопа) выбираются большие суб-апертуры для более слабых опорных звёзд.

Quad-cell Сколько пикселей фотоприемника должны соответствовать каждой суб-апертуре? Для того, чтобы вычислить точно
центроид, изображения должны быть хорошо выделены и иметь более чем 4 х 4 пикселей на каждую суб-апертуру.
Однако, каждый пиксель CCD фотоприемника дает шум считывания, который превышает фотонный шум самых слабых
опорных звезд. Таким образом, в некоторых проектах, (например, в проекте Альтаир для Джемини -северного) используются
только 2 х 2 пикселя на каждую суб-апертуру. В этом случае каждые 4 пикселя работают как квадрантный приемник,
и наклоны по координатным осям получаются из отношений интенсивностей:
:


\begin{displaymath} x \approx \frac{\beta}{2} \; \frac{I_1 +I_2 - I_3 - I_4}{I_1... ...beta}{2} \; \frac{I_2 +I_3 - I_1 - I_4}{I_1 +I_2 + I_3 + I_4}. \end{displaymath} (4)

Отклик квадратурного датчика наклона линеен только при наклонах менее$\pm \beta/2$, коэффициент отклика пропорционален $\beta$ (следовательно, может изменяться, в зависимости от видности или размера объекта). Это та цена, которую приходится платить
за повышенную чувствитекльность, которая наиболее важна для астрономов.

Вопрос: Какая форма изображения опорной звезды нужна для достижения строго линейной кривой отклика квадрантного
приемника?

ДВФ Ш-Г широко используется, потому что он основан на проверенной технологии и твердом опыте, компактен и стабилен.
Эти датчики волнового фронта требуют проведения калибровки для определения номинального положения фокальных
пятен, калибровка достигается при изображении искусственного точечного источника.

3.3. Датчики кривизны (ДК)

Датчики, измеряющие кривизну волнового фронта были разработаны Родье (Roddier) после 1988. Его идеей было соединить
датчик кривизны и биморфное деформируемое зеркало в одном устройстве, минуя необходимость промежуточных
вычислений . (Хотя никто до сих пор в действительности этого не сделал.)

Curvature sensing

Пусть $I_1(\vec{r})$ - распределение интенсивности в предфокальном звездном изображении, расфокусированное на некоторую
величину $l$, и $I_2(\vec{r})$ - соответствующее распределение интенсивности в зафокальном изображении. Здесь $\vec{r}$  - координата в плоскости изображения и $F$ фокусное расстояние телескопа. Эти два изображения подобны изображениям
зрачков, уменьшенным на коэффициент  $\frac{l}{F-l}$. В приближении геометрической оптики, локальная кривизна волнового
фронта делает одно изображение ярче, а другое - тусклее, нормализованная разность интенсивностей может быть
записана как:

\begin{displaymath} \frac{I_1(\vec{r}) -I_2(\vec{r})}{I_1(\vec{r}) +I_2(\vec{r})... ...triangledown^2 \phi \left( \frac{F \vec{r}}{l}\right) \right]. \end{displaymath} (5)

Оператор $\bigtriangledown^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ - так называемый Лапласиан, и он используется для вычисления кривизны фазового рапределения$\phi(\vec{x})$. Первый член в вышеприведенном уравнении есть градиент фазы на краю апертуры (это записано символически как $\delta_c$
частная производная в направлении, перпендикулярном краю, умноженная на "функцию края"). ДК ахроматичен
(напомним, что $\phi(\vec{x})$ обратно пропорционально длине волны $\lambda$). ). Хотя формула выглядит сложно, это интуитивно
очевидно. Важно, что чувствительность ДК обратно пропорциональна дефокусировке $l$.

Вопрос: Нарисуйте пары пред- и за-фокальных изображений для аберраций Цернике от 2 до 6.

Для источника конечного углового размера  $\beta$ пред- и зафокальные изображения размазываются на величину$\beta(F-l)$. Размазывание должно быть меньше, чем проекция размера суб-апертуры $d$:

\begin{displaymath} \beta (F-l) < \frac{l}{F}d \end{displaymath} (6)

Дефокусировка всегда много меньше, чем фокусное расстояние, $F$, следовательно условие минимума дефокусировки:


\begin{displaymath} l > \beta \frac{f^2}{d}. \end{displaymath} (7)

Большая де-фокусировка нужна для измерения волнового фронта с более высоким разрешением, чувствительность ДК будет соответственно уменьшена. Это означает, что ДК может иметь проблемы с измерением аберраций
высокого порядка.

Для точечных источников и больших суб-апертур (практически интересный случай) размазывание $\beta$ определяется
атмосферными аберрациями $\beta = \lambda/r_0$, как в ДВФ Ш-Г. Если АО система работает в режиме замкнутой цепи
обратной связи и остаточные аберрации( на длине волны датчика) становятся малыми, размазывание уменьшается
до$\beta=\lambda/d$,позволяя уменьшить дефокусировку и увеличить чувствительность. Это свойство в действительности
используется в реальных АО системах в ограниченном размере: дефокусировка уменьшается только когда цепь
обратной связи замкнута.

Высокочастотные искажения волнового фронта (меньшие, чем размер суб-апертуры) имеют спектр мощности
(дисперсию Фурье-амплитуд) пропорциональный $f^{1/6}$но их спектр кривизны пропорционален$f^{1/6}$ и может
вызывать большую ошибку дискретизации.Чтобы предотвратить это, сигнал должен быть сглажен до разделения
по суб-апертурам. Сглаживание достигается уменьшением дефокусировки $l$, что также увеличивает чувствительность.
Короче, выбор$l$ в ДК критичен и должен подстраиваться под меняющиеся условия наблюдений. Сигнал ДК -
только более или менее грубое приближение действительной формы волнового фронта.

Мы приводим без вывода формулу для дисперсии фотонного шума в ДК, когда дефокусировка подстраивается
к своему оптимальному значению:

\begin{displaymath} \langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle = \frac{\pi^2}{n} \left( \frac{\beta d}{\lambda} \right) ^2 . \end{displaymath} (8)

Подобно ДВФ Ш-Г, это дисперсия для одной суб-апертуры. Мы видим, что выражения для Ш-Г и ДК очень похожи.
Чтобы получить общую ошибку волнового фронта,$\langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle$ должен быть умножен на коэффициент распространения шума,
который для ДК пропорционален числу суб-апертур $N$ (он пропорционален log($N$) для Ш-Г). При реконструкции волнового фронта низкие частоты усиливаются, поэтому шум сдвигается к модам нзшего порядка. Это указывает на потенциальную проблему при использовании ДК в АОС высокого порядка. Тщательное компьютерное моделирование АОС Джемини
(~200 актюаторов) показало, что качество Ш-Г и ДК датчиков почти идентично (Applied Optics, V. 36, P. 2856, 1997).

Gradient sensing
Подпись к рисунку: Gradient sensing - Градиентная чувствительност

Масштаб пред- и за- фокальных изображений зависит от дефокусировки $l$, которая должна меняться во время
работы. Это не удобно, в действительности сигнал кривизны детектируется в изображении зрачка с фиксированным
масштабом, в то время как величина дефокусировки подстраивается специальным оптическим элементом (см. ниже).
Внешние суб-апертуры проецируются на границу зрачка, их сигнал дает информацию о радиальных фазовых градиентах,
включая общие наклоны (см. рисунок)

ДК работают в астрономических адаптивно-оптических системах (см. например, PUEO и Hokupa'a) с использованием
в качестве фотопремников лавинных фотодиодов (ЛФД). Это одно-пиксельные приемники, подобные фотоумножителям.
Отдельные фотоны детектируются и преобразуются в электрические импульсы без шума считывания и с малым
темновым фоном, максимальная квантовая эффективность составляет около 60%. Отдельные сегменты зрачка
обособлены с помощью матрицы линз (которая, обычно, соответствует радиальной геометрии биморфного
деформируемого зеркала), затем свет от каждого фокусируется и передается на соответствующий ЛФД
по оптоволокну. Количество ЛФД равно числу сегментов. Внешние сегменты тестируют край апертуры, и их
сигналы пропорциональны градиентам волнового фронта вдоль нормали.

Optical scheme of CS

Пояснения к рисунку: from telescope - от телескопа
            Membrane - мембрана
            Fabry lens - объектив Фабри
            lenslets - матрица линз
            fibers - световоды
            APD - ЛФД
 
ЛФД массивны и дороги. Следовательно, такая конструкция подходит только для систем низкого порядка. Для того, чтобы иметь только один фотоприемник на пиксель, пред- и за-фокальные изображения переключаются
во времени и направляются на один и тот же ЛФД, затем сигнал демодулируется в компьютере волнового
фронта. Модуляция фокуса осуществляется с помощью колеблющегося мембранного зеркала, помещенного в
фокальную плоскость (типичная частота 2 кГц). Дефокусировка обратно пропорциональна амплитуде колебаний
мембраны и подстраивается под изменяющиеся условия наблюдений и может быть уменьшена, как только
цепь обратной связи АОС будет включена, тем самым увеличится чувствительность ДК. Заметная полезная
компенсация турбулентность достигается даже тогда, когда сигнал составляет всего 1 фотон на суб-апертуру
за цикл обратной связи!

Альтернативное решение было бы использовать CCD как фотоприемник ДК. Эта возможность обсуждается
в течение длительного времени, но до сих пор не реализована в действующих системах. Недостаток ССD в шуме
считывания, который становится определяющим при низких уровнях освещенности. В ESO были разработаны специальные
CCD, которые позволяют производить несколько циклов модуляции при каждом считывани

Вопрос: Предположим, что ССD с шумом считывания 5 электронов использован в ДВФ. Каким должно быть число
принятых фотонов, чтобы шум считывания был меньше, чем фотонный шум?

3.4. Другие датчики волнового фронта

Shearing interferometer Проблемы интерферометрического измерения волнового фронта могут быть преодолены, когда интерферирующие лучи представляют собой волновые фронты с малым пространственным сдвигом $\vec{\rho}$ (так называемые интерферометры сдвига). Если сдвиг меньше, чем $r_0$, разности фаз меньше 1 длины волны и нет неопределенности в p .
Интенсивность света в интерферограмме:


\begin{displaymath} I(\vec{r}) = \vert e^{i \phi(\vec{r})} + e^{i \phi(\vec{r}+\... ...t[ \rho \frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial \rho} \right]. \end{displaymath} (9)

При малых сдвигах разность фаз пропорциональна первой производной (наклону), следовательно сигнал интерферометра сдвига
подобен сигналу ДВФ Ш-Г. Два сдвига в ортогональных направлениях необходимы для измерения наклонов по
двум осям. Первая действующая АОС (RTAC) использовала ДВФ, основанный на интерферометре сдвига, но ныне от
такого подхода полностью отказались в пользу ДВФ Ш-Г.

Вопрос: Оцените максимальный сдвигr $\vec{\rho}$ при котором сохраняется линейность отклика интерферометра сдвига
при данных условиях видности (данном $r_0$).

Были предложены другие типы интерферометров для датчиков волнового фронта. некоторые из них могут обеспечить
сигналы, прямо пропорциональные фазе(и, таким образом, не требующие реконструктора), хотя и в ограниченном
динамическом диапазоне. Такие решения могут быть интересны для коррекции остаточных аберраций высокого
порядка (например, АОС с очень высокой степенью компенсации аберраций нужны для обнаружения
планет вне солнечной системы).

Pyramid WFS
Пояснения к рисунку: from telescope - от телескопа
        pyramid - пирамида
        detector - фотоприемник
 

Пирамидный ДВФ (П-ДВФ) разработан итальянскими астрономами. Прозрачная пирамида помещена в фокальной
плоскости и разделяет звездное изображение на четыре части. Каждый луч отклоняется, эти лучи создают изображения
зрачка телескопа на одном CCD. Таким образом, каждая суб-апертура принимается четырьмя пикселями CCD.
Эта оптическая схема подобна теневому методу Фуко.

Давайте предположим, что источник света протяженный и используем геометрическую оптику. Наклон волнового
фронта на некоторой суб-апертуре изменяет положение источника на пирамиде, следовательно изменяются световые
потоки, принимаемые 4 пикселями, которые в противном случае были бы равными. Вычисляя нормализованные
разности интенсивностей мы получаем два сигнала, пропорыыциональные наклонам волнового фронта в двух
напрвлениях. Чувствительность П-ДВФ зависит от размера источника $\beta$. П-ДВФ можно представить как массив
квадрантных датчиков и он подобен ДВФ Ш-Г.

Что случится, когда используется точечный источник (звезда) и когда принимаются во внимание дифракционные эффекты?
Распределения интенсивностей в четырех изображениях зрачков становятся сложными и дают нелинейную зависимость
от формы волнового фронта, П-ДВФ более не измеряет наклоны. В случае слабых аберраций (амплитудой много
меньше  $\lambda$), форма волнового фронта ещё может быть восстановлена, хотя и более сложным путем. Для того,
восстановить линейность, звезда быстро двигается вокруг края пирамиды (т.е. круговым образом), создавая кольцевой
источник. Это не модуляция, как в ДК, а просто размазывание точечного источника, потому, что сигнал интегрируется
по одному или нескольким циклам качания n

Вопрос: Нарисуйте четыре изображения зрачка в П-ДВФ для случая дефокусировки (мода Цернике номер 6).

Каковы преимущества П-ДВФ? Во-первых, в нем нет матрицы линз и суб-апертуры определяются пикселями приемника.
Это означает, что для слабых звезд число суб-апертур может быть уменьшено просто разбиением матрицы пикселей
ССD. Во-вторых, амплитуда вибрации звезд может быть подстроена как обмен между чувствительностью ( меньшее
движение) и линейностью (большее движение). При малых амплитудах чувствительность П-ДВФ может быть выше,
чем у ДВФ Ш-Г ( см. Astron. Astrophys. V. 369, P. L9, 2001). Наконец, возможно, по крайней мере в принципе, поместить
в фокальной плоскости несколько пирамид, для того, чтобы собрать свет нескольких слабых опорных звезд на одном
приемнике.

Фаза может быть восстановлена из анализа двух одновременных изображений звезды, одного в фокусе и другого -
вне фокуса( или, вообще, с некоторой известной аберрацией). Такой подход называется вариацией фазы (phase diversity) .
Алгоритм нелинеен (следовательно, медленный), преимущества его применения для АО ещё не ясны.

Идеальный ДВФ ещё не изобретён. Нет общей теоремы, которая бы установила абсолютный предел чувствительности
любого ДВФ из-за фотонного шума. Вместо этого мы имеем несколько эмпирических решений, оптимизируем их
параметры и выбираем лучшие варианты среди имеющихся в наличии.

3.5. Реконструкция (восстановление) волнового фронта

В этом разделе проблема вычисления формы волнового фронта из данных, полученных ДВФ, представлена в общем виде.
Измерения (данные ДВФ) могут быть представлены вектором $S$ (его длина вдвое больше числа суб-апертур N для
ДВФ Ш-Г, потому, что измеряются наклоны в двух направлениях, и равны N для ДК). Неизвестные (волновой фронт)
это вектор$\phi$,который может быть определен как значения фаз на сетке, или, более часто как коэффициенты
Цернике. Предполагается, что соотношение между измерениями и неизвестными линейно, по крайней мере, в первом
приближении. Наиболее общая форма линейного соотношения дается матричным умножением,


\begin{displaymath} S = A \phi , \end{displaymath} (10)


где матрица $A$ называется матрицей взаимодействия. В реальной АОС матрица взаимодействия определяется
экспериментально: все возможные сигналы (т.е. моды Цернике) прикладываются к ДЗ и реакция ДВФ на эти сигналы
записывается.

Матрица восстановления (реконструкции) выполняет обратную операцию, возвращая вектор волнового фронта
из измерений:

\begin{displaymath} \phi = B S. \end{displaymath} (11)

Вопрос: Для данного числа суб-апертур N, оцените число арифметических операций, необходимых для восстановления
фазы. Как оно зависит от длины волны (для данного отношения Штреля)?

Число измерений обычно больше, чем число неизвестных, поэтому полезно решение методом наименьших
квадратов. В приближении метода наименьших квадратов мы ищем такой вектор $\phi$, который лучшим образом
подходил бы к данным. Результирующий реконструктор:


\begin{displaymath} B = ( A^T A)^{-1} A^T . \end{displaymath} (12)

Здесь верхний индекс Т означает матричное транспонирование, а -1 обозначает обратную матрицу. Матричные
операторы очень часто встречаются в адаптивной оптике.
Почти во всех случаях обращение матриц представляет собой проблему, т.к. матрица $A^T A$вырождена. Это
означает, что некоторые параметры (или комбинации параметров) не определены данными. Например, мы не можем
определить первую моду Цернике (поршень) из измерений наклонов. В практике обращение матриц выполняется вместе с удалением неопределённых (или плохо определённых) параметров с помощью алгоритма выделения сингулярного
значения (Singular Value Decomposition). В системах Шака-Гартмана с квадратной геометрией, плохо определенные
моды обычно содержат "вафлю"( квази-периодическую деформацию с частотой сетки актюаторов).

Сколько мод Цернике могут быть восстановлены с ДВФ Ш-Г, имеющего $N$ суб-апертур? На первый взгляд, до 2х.
$N$. В действительности, только $N$, потому что x,y наклоны независимы не полностью, они избыточны. Для ДК
максимальное число мод тоже$N$.

Реконструктор наименьших квадратов не самый лучший. Из учебников по статистике известно, что используя
информацию о свойствах, априори присущих сигналу, может быть получен лучший реконструктор. В случае АО,
этой информацией является статистика возмущений волнового фронта ( например, ковариация мод Цернике) и
статистика шума ДВФ. Подыскивая решение, которое дает минимальную предполагаемую остаточную дисперсию
(следовательно, максимальное отношение Штреля), мы получаем матрицу реконструктора, которая похожа на фильтр
Винера.

В случае одномерного сигнала, Винеровский фильтр в частотной области записывается как:

\begin{displaymath} W(f) = \frac{ \tilde{A}^* \vert\tilde{S}\vert^2 } { \vert\tilde{A}\vert^2 \vert\tilde{S}\vert^2 + \vert\tilde{N}\vert^2}, \end{displaymath} (13)

где $\vert\tilde{S}\vert^2$ и $\vert\tilde{N}\vert^2$ означают спектры мощности сигнала и шума, соответственно. Если шумом можно пренебречь,
Винеровский фильтр сводится к обратному фильтру $\tilde{A}^{-1}$, но срезает частоты, где шум превышает сигнал.
Для АОС это означает, что оба параметра - порядок компенсации и ширина полосы системы регулирования - уменьшаются
когда недостаточно фотонов.

Вопрос: Пространственный спектр мощности ошибок наклона - белый ( не зависит от частоты f) ) и спектр атмосферных
наклонов пропорционален$f^{-8/3}$. Как зависит максимальная частота компенсируемых аберраций от уровня шума $\vert\tilde{N}\vert^2$?

В АОС выражения для минимальной дисперсии реконструктора включают матрицу взаимодействия и матрицы
ковариации шума и атмосферных возмущений. Подобные же результаты получены при использовании других
статистических приближений (максимальное правдоподобие или максимальная эмпирическая вероятность).

Для любого реконструктора  B, шум восстановленной фазы $\langle \epsilon^2 \rangle$ :

\begin{displaymath} \langle \epsilon^2 \rangle = \frac{1}{N} \;\; {\rm trace} (B C_S B^T), \end{displaymath} (14)

где $C_S$ - ковариационная матрица измерений (в случае некоррелированного шума - диагональная матрица с элементами$\langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle$),
trace означает сумму диагональных матричных элементов. Это выражение позволяет вычислить коэффициент распространения шума, связывающего ошибку измерений ДВФ с ошибкой восстановленных фаз.

Резюме. Датчик волнового фронта - наиболее критичная часть астрономической АОС потому, что опорные звезды часто слабые, ограничивающие достижимую степень компенсации турбулентности. Были изучены две наиболее общепризнанные концепции ДВФ: Шака-Гартмана и датчика кривизны. Для обеих мы можем вычислить фотонную ошибку и оценить ошибку восстановленных волновых фронтов в зависимости от яркости опорной звезды и параметров системы. Основные идеи восстановления волнового фронта были приведены без детализации.

К началу: Введение

Назад: 2. Исправление турбулентности: Деформируемые зеркала

Далее: Лазерные опорные звезды

Hosted by uCoz